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上一篇重现了UE4的环境BRDF渲染框架。本篇会把GGX换成更常见的Blinn-Phong BRDF。在这个过程中，整个框架仍然保持不变，从importance sampling得到的ground truth开始，逐步推出用prefiltered环境光和预计算的LUT完成基于物理的环境光渲染。只是把BRDF换掉。

采样的细节

上一篇我只是简略地说了ground truth来自于采样1024次，但并没有给出如何计算采样点。这里会有具体的做法。

1. 生成2D空间的随机点${\xi }_{\theta }$和${\xi }_{\varphi }$
2. 根据BRDF的概率密度函数pdf，从${\xi }_{\theta }$和${\xi }_{\varphi }$计算importance sampling需要的球面坐标系$s_{\theta }$和$s_{\varphi }$
3. 把球面坐标系的$s_{\theta }$和$s_{\varphi }$转换成直角坐标系的halfway
4. -reflect(view, halfway)，得到light方向
5. 有了light、view、halfway，就可以计算出光照

从这个步骤可以看出，3-5都是显而易见的做法，只有前两步需要讨论。

对第一步来说，一个很好的选择是Hammersley采样。生成方法很简单，速度也很快。代码和原理都可以在这里找到。

第二步需要作比较细致的推导。下面就已blinn-phong为例解释如何推出$s_{\theta }$和$s_{\varphi }$。对于其他BRDF，步骤也是一样的，只是D不一样。

Blinn-Phong的importance sampling

（下面那些积分，其实很多我已经不记得怎么做了。好在有数学软件可以帮忙，比如开源的Maxima。）

Blinn-phong的D定义为

$D_{BP}=\frac{\alpha +2}{2\pi }(\mathbf{n}\cdot \mathbf{m}{)}^{\alpha }$

在球面坐标系里面表达，就是：

$pdf(\theta ,\varphi )=\frac{n+2}{2\pi }{\cos }^n\theta \sin \theta$

$\theta$和$\varphi$是独立的，可以先把$\varphi$积分掉

$pdf(\theta )={\int }_0^{2\pi }pdf(\theta ,\varphi )d\varphi =(n+2){\cos }^n\theta \sin \theta$

两者相除就得到关于$pdf(\varphi )$在$pdf(\varphi |\theta )$条件下的条件密度函数：

$pdf(\varphi |\theta )=\frac{pdf(\theta ,\varphi )}{pdf(\theta )}=\frac{1}{2\pi }$

因为这里只考虑各向同性的BRDF，所以最终结果不会受到$\varphi$值的影响，所以直接积分这个常量：

${\xi }_{\varphi }=P(s_{\varphi })={\int }_0^{s_{\varphi }}pdf(\varphi )d\varphi ={\int }_0^{s_{\varphi }}\frac{1}{2\pi }d\varphi =\frac{s_{\varphi }}{2\pi }$

所以

$s_{\varphi }=2\pi {\xi }_{\varphi }$

继续这么做，对pdf(theta)积分，可以得到

${\xi }_{\theta }=P(s_{\theta })={\int }_0^{s_{\theta }}pdf(\theta )d\theta =\frac{n+2}{n+1}(1-{\cos }^{n+1}{s}_{\theta })$

解$s_{\theta }$，就得到

$s_{\theta }=\arccos ((1-{\xi }_{\theta }\frac{n+1}{n+2}{)}^{\frac{1}{n+1}})$

另外，有一个BRDF上的不同是，GGX的roughness取值范围是0-1，线性分布。而blinn-phong的roughness没有上限。这里的处理方法和Getting More Physical in Call of Duty: Black Ops II一样，把roughness定义成

$glossiness={8192}^{roughness}$

也就是以8192为上限，呈指数分布。有了这些条件，就能按照上一篇的方法生成ground truth。

从这张图可以看出，blinn-phong和GGX渲染结果有所不同（实际上主要是来自于G一项，GGX用的是smith近似，这里的blinn-phong用的是更简单的隐式近似）。但它们对参数的反应还是很相似的，可以看到从粗糙到光滑比较线性的变化。

同样的，传统做法直接把prefilter的环境光当作光源，得到的是这样的结果，和ground truth偏差很大。

我们照样可以用roughness和cos(theta)作为参数，建立一个LUT。计算方法和上一篇一样，只是用这篇描述的blinn-phong的importance sampling公式。LUT长成这个样子，绿色通道的值非常低，大部分<5。和UE4不同的是，y的方向是反的。所以上下颠倒以后才会和UE4的LUT是同样的坐标系。

渲染的时候仍然是prefiltered-cubemap * (specular * LUT.x + LUT.y)，得到的结果和ground truth很接近。只是中频部分的变化没那么线性。这个似乎是因为mipmap层级选择造成的问题，也许需要更精确地推导指数分布下mipmap应该如何选择。

本篇讲解了如何把BRDF换成blinn-phong。接下去我会尝试把LUT用数值方法近似，从而再减少一个纹理读取。如果成功的话，就会有下一篇。