KlayGE游戏引擎

本系列源自于对Real Shading in Unreal Engine 4和Getting More Physical in Call of Duty: Black Ops II的理解。打算按照以前游戏中基于物理的渲染的思路，介绍一下如何在游戏这样的实时应用中使用基于物理的环境光。

回顾

在游戏中基于物理的渲染中列出了渲染方程的简化版，这是整个基于物理的体系的源头。

$L_0(\mathbf{v})={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})\otimes L_i(\mathbf{l})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$

其中，根据microfacet理论，BRDF可以表达成：

$\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})=\frac{F(\mathbf{l},\mathbf{h})G(\mathbf{l},\mathbf{v},\mathbf{h})D(\mathbf{h})}{4(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{v})}$

如之前的系列所述，这个公式只适合点光源。如果需要用到环境光，也就用cubemap光源做image based lighting（IBL），就需要推一个基于物理的环境BRDF。

Ground truth

仍然从渲染方程的简化版出发。因为不管是实时还是离线，要在的渲染中完成那个积分（即便是离散化）都是不实际的。一般来说需要用importance sampling减少计算量，也就是。

$L_0(\mathbf{v})={\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})\otimes L_i(\mathbf{l})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$
$\approx \frac{1}{N}\sum _{k=1}^N\frac{L_i({\mathbf{l}}_{\mathbf{k}})\rho ({\mathbf{l}}_{\mathbf{k}},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot {\mathbf{l}}_{\mathbf{k}})}{pdf({\mathbf{l}}_{\mathbf{k}},\mathbf{v})}$

其中pdf是概率密度函数，根据Physically-Based Shading at Disney，

$pdf({\mathbf{l}}_{\mathbf{k}},\mathbf{v})=\frac{D(\mathbf{h})(\mathbf{h}\cdot \mathbf{n})}{4(\mathbf{l}\cdot \mathbf{h})}$

用这个方程来计算specular的话，可以得到这样的结果：

上图的每个pixel都根据BRDF做了importance sampling，N=1024，BRDF是GGX，cubemap分辨率是512。在NVS 4200M上，只有2FPS的速度，即便在GTX 680上也只有30FPS。

传统做法

以前对于环境光，常见的做法就是prefilter。用AMD的cubemapgen对cubemap做一个prefilter，把卷积过的值存到mipmap的下几层。在渲染的时候，用roughness选择mipmap层次，根据反射方向采一个点，当作个方向光源来计算shading。Prefilter相当于对光源积分，所以这么做相当于把渲染方程组织成这样：

$L_0(\mathbf{v})=\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})\otimes {\int }_{\mathrm{\Omega }}{L}_i(\mathbf{l})d{\omega }_i$

用这样的方式虽然能得到一个看起来不错的结果，但和ground truth比较的话，差别还是较大的。

接下去我会开始推导一个基于物理的环境BRDF。结果你会发现，基于物理的方法效果优于传统做法，并且开销更低了。

基于物理的做法

如果改变拆分的方式，把原方程近似成两个积分的乘积，就得到

$L_0(\mathbf{v})\approx {\int }_{\mathrm{\Omega }}{L}_i(\mathbf{l})d{\omega }_i{\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$

其中，第一个积分仍是prefiltered cubemap。第二个积分还需要进一步推导。BRDF中的fresnel项是

$F_{Schlick}({\mathbf{c}}_{spec},\mathbf{l},\mathbf{h})={\mathbf{c}}_{spec}+(1-{\mathbf{c}}_{spec})(1-\mathbf{l}\cdot \mathbf{h}{)}^5$
$={\mathbf{c}}_{spec}(1-(1-\mathbf{l}\cdot \mathbf{h}{)}^5)+(1-\mathbf{l}\cdot \mathbf{h}{)}^5$

把fresnel项带入，就得到

${\int }_{\mathrm{\Omega }}\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$
$={\mathbf{c}}_{spec}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})}{F(\mathbf{v},\mathbf{h})}(1-(1-\mathbf{v}\cdot \mathbf{h}{)}^5)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$
$+{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{\rho (\mathbf{l},\mathbf{v})}{F(\mathbf{v},\mathbf{h})}(1-\mathbf{v}\cdot \mathbf{h}{)}^5(\mathbf{n}\cdot \mathbf{l})d{\omega }_i$

方程右边的两个积分项可以分别预计算成一个LUT的两个通道，查找参数是roughness和cos(theta)，LUT的输出又很好地能落在[0, 1]之间。

使用的时候，只需要用roughness和cos(theta)读取这个LUT，这样就能计算出specular的IBL结果：prefiltered-cubemap * (specular * LUT.x + LUT.y)，得到的结果和ground truth很接近。由于有了这个LUT，不再需要计算BRDF，只要一次乘加。Prefiltered cubemap只要采样一次，在NVS 4200M上也可以轻松达到110FPS，完全到了实用的范围。

本篇重现了UE4的环境BRDF，用的是GGX的BRDF。下一篇会试着换用KlayGE的blinn-phong BRDF。