Normal map已经在实时应用中被广泛使用了，但长期以来一直有个缺陷：无法很好地做mipmap。所以在一定的视角和距离下，会出现明显的aliasing现象。在非实时渲染中，因为sampling rate很高，对于一个pixel，积分发生在计算完shading之后，也就是
[latex]spec = \sum {\left (\frac {N_{i} \cdot H}{|N_{i}|} \right )^\alpha}[/latex]
而实时渲染的sampling rate极其有限，一般只有1，积分是在建立mipmap的时候对normal做的，shading用的是积分后的normal：
[latex]spec = \left (\frac {(\sum {N_{i}}) \cdot H}{|\sum {N_{i}}|} \right )^\alpha[/latex]
很显然这两个不等价，造成了aliasing。
LEAN Mapping
I3D 2010的LEAN Mapping的出现就是为了解决这个问题，作为一种更好的Normal Mapping表达。在KlayGE 4.3的开发计划中，原本我打算实现它。但在探索的过程中，LEAN Mapping（包括进一步发展的CLEAN Mapping）虽然原理和实现都很简单，效果也很好，但它的缺点也展露出来了，而且相当严重：
- LEAN需要5个通道（CLEAN需要4个通道），而且其中有的通道要求16-bit高精度的。
- 使用的时候需要tangent frame，forward框架还好，但对deferred框架来说是非常难搞的事情。
- Blinn-Phong需要改成Beckmann。
所以可以这么说，一旦要用LEAN Mapping，就需要把shading的整个过程都改了。这是相当难接受的事情。
Mipmapping normal maps
于是，剩下的选择就是往前走一步或者往后退一步。查了一下，这个方向似乎没有后续的工作。而LEAN Mapping的Related Work里提到了Toksvig 2005的一篇Mipmapping normal maps，看似有希望。 它其实也稍微修改了BRDF方程，加了一个称为Toksvig factor的系数（用自己名字命名…）：
[latex]f_{t} = \frac{|N_{a}|}{|N_{a}|+\alpha (1-|N_{a}|)}[/latex]
其中Na是mipmap的时候生成的平均normal的长度。
修改之后的specular变成了：
[latex]spec = \frac{1+f_{t} \alpha}{1 + \alpha}\left (\frac{N_{a}\cdot H}{| N_{a}|} \right )^{f_{t} \alpha}[/latex]
原文说了公式前面的系数[latex]\frac{1+f_{t} \alpha}{1 + \alpha}[/latex]为的是保能量。按照基于物理的BRDF提供的保能量系数，这个公式需要改成：
[latex]spec = \frac{f_{t} \alpha+2}{8}\left (\frac{N_{a}\cdot H}{| N_{a}|} \right )^{f_{t} \alpha}[/latex]
对比原公式，区别只是把shininess上乘一个ft。Na/|Na|只是个normalize，在建立mipmap的时候本来就会做。直观上来说，这就表示了如果一个区域内的normal什么方向都有，那么平均normal就会很短，所以需要降低shininess，显得比较粗糙。
更进一步
Mipmapping normal maps里，用当年流行的做法，对[latex]N_{a} \cdot H[/latex]和[latex]{N_{a}} \cdot {N_{a}}[/latex]建立一个2D查找表，完成specular的计算。当然在现在的硬件上，已经没必要这么做了，这些都可以在PS里实时完成。所以唯一剩下的项就是ft。从公式可以看出，ft取决于两个项，[latex]|N_{a}|[/latex]和[latex]\alpha[/latex]。 [latex]|N_{a}|[/latex]是可以预先计算好，[latex]\alpha[/latex]则是根据材质在实时的时候才能得到。所以我的改进可以总结成，在建立normal map的mipmap时，不但对生成的平均normal做normalize，而且把它的长度存到另一张texture，称为NaLength map。在渲染的时候，读取NaLength的内容，计算出ft，乘到shininess上，接着完成后面的shader。总的来说改动很小。
效果上看，在shininess大的时候可以明显看出是否使用了NaLength的区别。以下两图分别是shininess = 1024的时候打开和关闭NaLength的结果：
在中间区域，mip level很低，所以两者完全相同。靠近边缘的地方，mip level逐渐增加，所以区别越来越大，没用NaLength的时候会出现更多不该有的亮点，运动起来会更明显。
就是这样一个简单的办法，完全克服了LEAN Mapping的那三个大缺点，同时改动量很小，适合在实际中使用。在做完这些工作之后，才发现了Wild West开发人员的一个blog，他们也做了完全一样的事情。相见恨晚啊。
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